Θεώρημα Κεντρικού Ορίου

Το Θεώρημα Κεντρικού Ορίου* (Central Limit Theorem) περιγράφει τα χαρακτηριστικά του "πληθυσμού των μέσων τιμών" που σχηματίζεται από τις μέσες τιμές άπειρων πληθυσμιακών δειγμάτων καθένα από τα οποία αποτελείται από Ν τυχαία δείγματα (Ν: μέγεθος πληθυσμιακού δείγματος), τα οποία έχουν ληφθεί από ένα "μητρικό πληθυσμό". Το θεώρημα αυτό προβλέπει ότι ανεξάρτητα από τη μορφή της κατανομής του μητρικού πληθυσμού:

[1] Η μέση τιμή του πληθυσμού των μέσων τιμών είναι πάντοτε ίση προς τη μέση τιμή του μητρικού πληθυσμού από τον οποίο ελήφθησαν τα δείγματα.

[2] Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των μέσων τιμών είναι πάντοτε ίση προς την τυπική απόκλιση του μητρικού πληθυσμού διαιρεμένη με την τετραγωνική ρίζα του μεγέθους του πληθυσμιακού δείγματος N.

[3] [Και το πιο ωραίο !!] Η κατανομή του πληθυσμού των μέσων τιμών τείνει προς την κανονική (κατά Gauss) κατανομή, όσο αυξάνει το μέγεθος Ν του πληθυσμιακού δείγματος.

Μια συνέπεια του Θεωρήματος Κεντρικού Ορίου είναι το ότι αν λαμβάνουμε τις μέσες τιμές μετρήσεων μιας ορισμένης ποσότητας, η κατανομή τους τείνει προς την "κανονική". Επιπλέον, εάν η μεταβλητή που μετρούμε στην πραγματικότητα είναι αποτέλεσμα συνδυασμού αρκετών άλλων τυχαίων μεταβλητών ανεξάρτητων μεταξύ τους και με διάφορες κατανομές, τότε το τυχαίο σφάλμα που συνοδεύει τις μετρήσεις μας τείνει να αποκτήσει κανονική κατανομή, όσο αυξάνει ο αριθμός των μεταβλητών.

Με το Θεώρημα Κεντρικού Ορίου ερμηνεύεται η συχνή εμφάνιση στις μετρητικές διαδικασίες της περίφημης κατανομής σχήματος κώδωνα, που είναι γνωστή ως "κανονική κατανομή" ή "κατανομή κατά Gauss".

                                      

* Συχνότερα αποδίδεται στα Ελληνικά ως "Κεντρικό Οριακό Θεώρημα", αλλά η απόδοση αυτή είναι μάλλον εσφαλμένη δεδομένου ότι δεν συντρέχουν λόγοι για να χαρακτηρισθεί ως "οριακό" αυτό το θεμελιώδες θεώρημα της Στατιστικής.

 

Applet 

Με το applet αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε τη βαθμιαία εμφάνιση της κανονικής κατανομής, καθώς αυξάνουμε το μέγεθος της ομάδας μετρήσεων από τις οποίες υπολογίζεται μία μέση τιμή.

Ο χρήστης μπορεί να διαλέξει οποιαδήποτε από τις 8 κατανομές που αντιπροσωπεύουν τον "μητρικό πληθυσμό" (με τιμές στην περιοχή 0 - 100) κάνοντας κλικ στο αντίστοιχο ραδιο-πλήκτρο. Στη συνέχεια μπορεί να επιλέξει το μέγεθος του πληθυσμιακού δείγματος ("Sample size") Ν (Ν = 1 - 30) πατώντας τα πλήκτρα "Inc" (increase: αύξηση) / "Dec" (decrease: μείωση). Με το πλήκτρο "DRAW" (σχεδίασε) αρχίζει να παράγεται ο πληθυσμός των μέσων τιμών και να σχεδιάζεται το αντίστοιχο ιστόγραμμα. Προφανώς, για Ν = 1, το ιστόγραμμα θα αποδίδει την κατανομή του "μητρικού πληθυσμού".

Το σχετικό μέγεθος του πληθυσμού που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία του ιστογράμματος επιλέγεται μέσω των ραδιο-πλήκτρων "Small" (μικρό), "Medium" (μεσαίο), "Large" (μεγάλο). Όσο μεγαλύτερος είναι ο πληθυσμός, τόσο πιο ομαλό φαίνεται το περίγραμμα των κατανομών, αλλά τόσο περισσότερο χρόνο απαιτεί η σχεδίαση.

Μετά τη συμπλήρωση της σχεδίασης του ιστογράμματος, το μέγεθος του ολικού πληθυσμού εμφανίζεται στην επάνω-δεξιά γωνία του ιστογράμματος. Επίσης, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού δείχνεται κάτω από το ιστόγραμμα.

 

ΠΡΟΣΟΧΗ:  

Αν το applet δεν "παίζει" κάνετε κλικ εδώ.

Αν το applet δεν φαίνεται κάνετε κλικ εδώ.

Για μια πλήρη λίστα των applet κάνετε κλικ εδώ.

Υπεύθυνος σελίδας: Καθ. Κωνσταντίνος Η. Ευσταθίου